Bài 4 trang 159 SGK Đại số 10

Đề bài

Phát biểu định lí về dấu của một tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+ bx + c\).

Áp dụng quy tắc đó, hãy xác định giá  trị của \(m\) để tam thức sau luôn luôn âm:  \(f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 1 - m.\)     

Hướng dẫn giải

Định lí: Tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+ bx + c (a ≠0)\)

có biệt thức \(Δ = b^2– 4ac\)

- Nếu \(Δ < 0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a \) với mọi \(x∈\mathbb R\)

- Nếu \( Δ = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi  \(x \ne {{ - b} \over {2a}}\)

- Nếu \(Δ >0\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm \(x_1;x_2\) (\(x_1<x_2\))

    \( f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi  \(x<x_1\) hoặc  \(x>x_2\)

     \(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) khi  \(x_1<x<x_2\)

Áp dụng: \(f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 1 - m\) có hệ số \(a = -2<0\)

Biệt thức: \(Δ = 3^2- 4 .(- 2) (1-m) = 17 - 8m\)

Ta có \(a=-2 < 0\) nên tam thức \(f(x)\) luôn âm (tức \(f(x) < 0 , ∀x  ∈\mathbb R\) khi:

\(\eqalign{
& \Delta < {\rm{ }}0 \Leftrightarrow 17 - 8m < 0 \cr
& \Leftrightarrow m > {{17} \over 8}. \cr} \)