Đặt một điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn dây không thuần cảm nối tiếp với tụ điện

Đáp án C

Phương pháp giải:

Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch: $U=I\sqrt{r^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}$

Hai đại lượng vuông pha có: $\tan {\phi }_1.\tan {\phi }_2=-1$

Hệ số công suất: $\cos \phi =\frac{r}{\sqrt{r^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}}$

Giải chi tiết:

Ban đầu, số chỉ của vôn kế là: $U_{V1}=U_d=\frac{U\sqrt{r^2+{Z_L}^2}}{\sqrt{r^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}}$

Nối tắt tụ điện, số chỉ của vôn kế là điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch: $U_{V2}=U$

Theo đề bài ta có:

$U_{V2}=3U_{V1}\Rightarrow U=3U_d\Rightarrow U=3\frac{U\sqrt{r^2+{Z_L}^2}}{\sqrt{r^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}}$

$\Rightarrow r^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2=9\left(r^2+{Z_L}^2\right)\left(1\right)$

Cường độ dòng điện trong hai trường hợp vuông pha với nhau, ta có:

$\tan {\phi }_1.\tan {\phi }_2=-1\Rightarrow \frac{Z_L-Z_C}{r}.\frac{Z_L}{r}=-1$

$\Rightarrow Z_L\left(Z_L-Z_C\right)=-r^2$

Thay vào phương trình (1), ta có:

$-Z_L\left(Z_L-Z_C\right)+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2=9\left[-Z_L\left(Z_L-Z_C\right)+{Z_L}^2\right]$

$\Rightarrow {Z_C}^2-Z_L{Z}_C=9Z_L{Z}_C\Rightarrow {Z_C}^2-10Z_L{Z}_C=0\Rightarrow Z_C=10Z_L$

$\Rightarrow r^2=-Z_L\left(Z_L-Z_C\right)=9{Z_L}^2\Rightarrow r=3Z_L$

Hệ số công suất của mạch điện lúc đầu là:

$\cos \phi =\frac{r}{\sqrt{r^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}}=\frac{3Z_L}{\sqrt{9{Z_L}^2+{\left(Z_L-10Z_L\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$