Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên l0 và độ cứng k = 16N/m, được cắt thành

Câu hỏi :

Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên ${\mathcal{l}}_o$ và độ cứng k = 16N/m, được cắt thành hai lò xo có chiều dài ${\mathcal{l}}_1=4{\mathcal{l}}_2.$  Mỗi lò xo sau khi cắt được gắn với vật có cùng khối lượng 0,5 kg. Cho hai con lắc lò xo mắc vào hai mặt tường đối diện nhau và cùng đặt trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang như hình vẽ (các lò xo đồng trục). Khi hai lò xo chưa biến dạng thì khoảng cách hai vật là 12cm. Lúc đầu, giữ các vật để cho các lò xo đều bị nén, đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động cùng thế năng cực đại là 0,1J. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản, lấy ${\pi }^2=10.$ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật gần nhất với giá trị nào sau đây?

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{\mathcal{l}}_1=4{\mathcal{l}}_2\\ {\mathcal{l}}_1+{\mathcal{l}}_2={\mathcal{l}}_o\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\mathcal{l}}_1=\frac{4}{5}{\mathcal{l}}_o\\ {\mathcal{l}}_2=\frac{1}{5}{\mathcal{l}}_o\end{array}\right.\stackrel{k_1{\mathcal{l}}_1=k_2{\mathcal{l}}_2=k{\mathcal{l}}_o}{\to }\left\{\begin{array}{l}{k}_1=\frac{5}{4}k\\ k_2=5k\end{array}\right.$

Tần số góc của con lắc 1:  ${\omega }_1=\omega =\sqrt{\frac{5k}{4m}}$

Tần số góc của con lắc 2:  ${\omega }_2=\sqrt{\frac{k_2}{m}}=\sqrt{\frac{5k}{m}}=2\omega$

+ Biên độ dao động của các vật  $A=\sqrt{\frac{2\text{W}}{k}}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{A}_1=10cm\\ A_2=5cm\end{array}\right.$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (gốc tọa độ O₁ ở vị trí cân bằng của vật thứ nhất), phương trình dao động của các vật là:

 $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_1=10\cos (t+\pi )\\ x_2=12+5\cos \left(2\omega t\right)\end{array}\right.\Rightarrow d=x_2-x_1=\underset{x^2}{\underbrace{10{\cos }^2\left(\omega t\right)}}+\underset{x}{\underbrace{10\cos \left(\omega t\right)}}+7\\ d_{\min }\iff x=\cos \left(\omega t\right)=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}\Rightarrow d_{\min }=4,5\left(cm\right)\end{array}$