Trên một sợi dây OB căng ngang, hai đầu cố định đang có sóng dừng với tần

Do B là nút nên N là bụng sóng, M,N cùng một bó sóng nên dao động cùng pha, P dao động ngược chiều với M và  N

Phương trình sóng dừng tại điểm cách nút một khoảng d có dạng:

 $u=2a\cos \left(\frac{2\pi d}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)$

Biên độ sóng tại :M,N,P

     $A_M=\left|2a\cos \left(\frac{2\pi .\frac{\lambda }{6}}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\right|=a\sqrt{3};$$A_N=\left|2a\cos \left(\frac{2\pi .\frac{\lambda }{4}}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\right|=2a;$$A_P=\left|2a\cos \left(\frac{2\pi .\frac{19\lambda }{12}}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\right|=a$

Do đó nếu $u_M=a\sqrt{3}\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)$  thì  $u_P=-a\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)$

Tại thời điểm  $t_1:u_N=A_M=a\sqrt{3}=2a\cos \left({\omega }_{1}t-\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow \cos \left(\omega t_1-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

 $v_M=-a\sqrt{3}\omega \sin \left(\omega t_1-\frac{\pi }{2}\right)=\omega a.\frac{\sqrt{3}}{2}=60\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\omega a=40\sqrt{3}\\ \sin \left(\omega t_1-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Phương trình sóng tại  $P:u_P=-a\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow v_P=a\omega \sin \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)$

Tại thời điểm  $t_2=t_1+\frac{11}{12f}=t_1+\frac{11T}{12}$

Lúc này vận tốc của phần tử dây tại P là:

 $v_P=a\omega \sin \left[\omega \left(t_1+\frac{11T}{12}\right)-\frac{\pi }{2}\right]=a\omega \sin \left(\omega t_1-\frac{\pi }{2}+\frac{11\pi }{6}\right)$

Biến đổi lượng giác:

$\sin \left(\omega t_1-\frac{\pi }{2}+\frac{11\pi }{6}\right)=\sin \left(\omega t_1-\frac{\pi }{2}\right).\cos \frac{11\pi }{6}+\cos \left(\omega t_1-\frac{\pi }{2}\right).\sin \frac{11\pi }{6}=-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$v_P=40\sqrt{3}.\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-60\left(cm/s\right)$