Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng

Đáp án B

Phương pháp giải:

+ Sử dụng biểu thức tính chu kì:$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

+ Sử dụng biểu thức tính cơ năng:$W=\frac{1}{2}k{A}^2=W_t+W_d$

+ Sử dụng biểu thức tính độ dãn của lò xo tại VTCB:$\Delta l=\frac{mg}{k}$

+ Sử dụng biểu thức tính thời gian lò xo nén trong một chu kì:$t_{nen}=\frac{2\alpha }{\omega }$ với $\cos \alpha =\frac{\Delta l_0}{A}$

Giải chi tiết:

Ta có:

+ Chu kì dao động:$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\mathrm{0,4}s$

+ Tại thời điểm t:$x_1=A\cos \phi \Rightarrow W_{t_1}=\frac{k{x}_1^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}{\cos }^2\phi =\mathrm{0,256}J$

$\iff \frac{k{A}^2}{2}\frac{1+\cos 2\phi }{2}=\mathrm{0,256}J\left(1\right)$

+ Tại thời điểm $t+\mathrm{0,05}s=t+\frac{T}{8}$

$x_2=A\cos \left(\phi +\frac{\pi }{4}\right)$

$\Rightarrow W_{t_2}=W-W_{d_2}=\frac{1}{2}k{A}^2-W_{d_2}=\frac{k{A}^2}{2}{\cos }^2\left(\phi +\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \frac{k{A}^2}{2}-\mathrm{0,288}=\frac{k{A}^2}{2}{\left(\cos \phi .\cos \frac{\pi }{4}-\sin \phi .\sin \frac{\pi }{4}\right)}^2$

$\iff \frac{k{A}^2}{2}-\mathrm{0,288}=\frac{k{A}^2}{2}\frac{1}{2}{\left(\cos \phi -\sin \phi \right)}^2$

$\iff \frac{k{A}^2}{2}-\mathrm{0,288}=\frac{k{A}^2}{4}\left(1-\sin 2\phi \right)\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có:$\left\{\begin{array}{l}\frac{k{A}^2}{4}\left(1+\cos 2\phi \right)=\mathrm{0,256}\\ \frac{k{A}^2}{4}\left(1+\sin 2\phi \right)=\mathrm{0,288}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{1+\sin 2\phi }{1+\cos 2\phi }=\frac{\mathrm{0,288}}{\mathrm{0,256}}=\frac{9}{8}$$\Rightarrow 1+9\cos 2\phi =8\sin 2\phi$

$\iff {\left(1+9\cos 2\phi \right)}^2={\left(8\sin 2\phi \right)}^2=64\left(1-{\cos }^{2}2\phi \right)$

$\iff 145{\cos }^{2}2\phi +18\cos 2\phi -63=0$$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\cos 2\phi =\frac{3}{5}\Rightarrow W=\mathrm{0,32}J\left(tm\right)\\ \cos 2\phi =\frac{-21}{29}\Rightarrow W=\mathrm{1,856}\left(loai\right)\end{array}\right.$

Với $W=\mathrm{0,32}J=\frac{1}{2}k{A}^2\Rightarrow A=\mathrm{0,08}m$

Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng:$\Delta l_0=\frac{mg}{k}=\mathrm{0,04}m$

Thời gian lò xo nén trong một chu kì: $t_{nen}=\frac{2\alpha }{\omega }$ với $\cos \alpha =\frac{\Delta l_0}{A}=\frac{\mathrm{0,04}}{\mathrm{0,08}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow t_{nen}=\frac{2\frac{\pi }{3}}{5\pi }=\frac{2}{15}s$