Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số

Phương pháp:

+ Vẽ giản đồ véc tơ 

+ Sử dụng định lí hàm số sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 

+ Sử dụng công thức lượng giác

+ Sử dụng BĐT Bunhia

Cách giải: 

Từ giản đồ, ta có: 

$\frac{U}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-{\phi }_{AN}\right)}=\frac{U_{AN}}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-\phi \right)}=\frac{U_{NB}}{\sin \left({\phi }_{AN}+\phi \right)}=\frac{3U_{NB}}{3\sin \left({\phi }_{AN}+\phi \right)}$ 

$\iff \frac{U}{\cos {\phi }_{AN}}=\frac{U_{AN}+3U_{NB}}{\cos \phi +3\sin \left({\phi }_{AN}+\phi \right)}$ $\Rightarrow U_{AN}+3U_{NB}=\frac{U}{\cos {\phi }_{AN}}\left[\cos \phi +3\sin \left({\phi }_{AN}+\phi \right)\right]$ 

${\left[U_{AN}+3U_{NB}\right]}_{\max }$ khi ${\left[\frac{\cos \phi +3\sin \left({\phi }_{AN}+\phi \right)}{\cos {\phi }_{AN}}\right]}_{\max }$ 

Ta có: $\frac{\cos \phi +3\sin \left({\phi }_{AN}+\phi \right)}{\cos {\phi }_{AN}}=\frac{\cos \phi +3\sin \phi \cos {\phi }_{AN}+3\cos \phi \sin {\phi }_{AN}}{\cos {\phi }_{AN}}$

                                                $=\frac{\cos \phi \left(1+3\sin {\phi }_{AN}\right)+3\sin \phi .\cos {\phi }_{AN}}{\cos {\phi }_{AN}}(\ast )$ 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có: 

$(\ast )\le \frac{\left({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi \right)\left[{\left(1+3\sin {\phi }_{AN}\right)}^2+{\left(3\cos {\phi }_{AN}\right)}^2\right]}{\cos {\phi }_{AN}}$ 

Dấu = xảy ra khi: $\frac{1+3\sin {\phi }_{AN}}{\cos \phi }=\frac{3\cos {\phi }_{AN}}{\sin \phi }$ 

Lại có: $\cos \phi =\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$ (đề bài cho) 

$\Rightarrow \frac{1+3\sin {\phi }_{AN}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{3\cos {\phi }_{AN}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 

$\cos {\phi }_{AN}-\sin {\phi }_{AN}=\frac{1}{3}\Rightarrow {\phi }_{AN}=\mathrm{0,547}rad\Rightarrow \cos {\phi }_{AN}=\mathrm{0,8538}$

Chọn A.