Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)

a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).

Hướng dẫn giải

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \left( {\Delta '} \right) \ge 0\)

Hệ thức Viet như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

Xét phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0\) (1)

a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta’ ≥ 0\)

Ta có: \(\Delta’ = (m – 1)^2 – 7(-m^2) = (m – 1)^2 + 7m^2 ≥ 0\) với mọi \(m\)

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\)

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Hệ thức Viet ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{2(m-1)}{7}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{- m^2}{7}
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\
 = {\left[ {\frac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{7}} \right]^2} - 2.\frac{{ - {m^2}}}{7}\\
 = \frac{{4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)}}{{49}} + \frac{{2{m^2}}}{7}\\
 = \frac{{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}}}{{49}}\\
 = \frac{{18{m^2} - 8m + 4}}{{49}}
\end{array}\)

Vậy \(x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\) .