Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{2e} {\frac{{\ln x + 1}}{x}dx} \)

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow t = 0\\
x = 2e \Rightarrow t = 1 + \ln 2
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_1^{2e} {\frac{{\ln x + 1}}{x}dx}  = \int\limits_0^{1 + \ln 2} {\left( {{t^2} + 1} \right)dt} \\
 = \left. {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + t} \right)} \right|_0^{1 + \ln 2} + \ln 2\\
 = \frac{1}{3}{\left( {1 + \ln 2} \right)^3} + 1 + \ln 2\\
 = \frac{1}{3}{\ln ^3}2 + {\ln ^2}2 + 2\ln 2 + \frac{4}{3}
\end{array}\)