Cho \(\int\limits_1^e {\frac{{1 + x{e^x}}}{{x\left( {{e^x} + \ln x} \right)}}dx = a\ln \frac{{{e^e} + b}}{e}} \). Tính giá trị của a - b

* Hướng dẫn giải

\(I=\int\limits_1^e {\frac{{1 + x{e^x}}}{{x\left( {{e^x} + \ln x} \right)}}dx = \int\limits_1^e {\frac{1}{{{e^x} + \ln x}}.\frac{{1 + x{e^x}}}{x}dx} }  = \int\limits_1^e {\frac{1}{{{e^x} + \ln x}}\left( {\frac{1}{x} + {e^x}} \right)dx} \)

Đặt \(t = {e^x} + \ln x \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx\)

Khi x = 1 thì t = e, khi x = e thì t = e^e + 1

\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_e^{{e^e} + 1} {\frac{1}{t}dt = \ln \frac{{{e^e} + 1}}{e}} \\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1
\end{array} \right. \Rightarrow a - b = 0
\end{array}\)