Tìm tập nghiệm S của bất phương trình {log _3}sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {log _{frac{1}{3}}}sqrt {x - 2} > frac{1}{2}{log _{1}{3}(x+3)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 2 > 0}\\
{{x^2} - 5x + 6 > 0}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 2 > 0}\\
{(x - 2)(x - 3) > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 3.\)

Khi đó:

\({\log _3}\sqrt {(x - 3)(x - 2)} - {\log _3}\sqrt {x - 2} \)

\(> - {\log _3}\sqrt {x + 3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\sqrt {(x - 3)(x - 2)} }}{{\sqrt {x - 2} }} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {{x^2} - 9}  > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 9}  > 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} > 10 \Leftrightarrow x > \sqrt {10} 
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: 

\(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right).\)