Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} - 2\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến có hệ số góc \(k...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\).

Ta có \(y' = {x^2} + 6x\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hệ số góc \(k = {\rm{\;}} - 9\) nên ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = {\rm{\;}} - 9 \Leftrightarrow x_0^2 + 6{x_0} =  - 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = {\rm{\;}} - 3\)

\( \Rightarrow {y_0} = y\left( { - 3} \right) = 16 \Rightarrow M\left( { - 3;16} \right)\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( { - 3;16} \right)\) là: \(y - 16 = {\rm{\;}} - 9\left( {x + 3} \right)\).

Chọn D.