Khối lăng trụ ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và đáy là \({30^\circ }.\) Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';AH} \right) = \widehat {A'AH} = {30^0}\).

Tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông A'AH có: \(A'H = AH.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{a}{2}\).

Tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \(V = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)

Chọn D.