Biết rằng phương trình \(\sqrt {2 - x} + \sqrt {2 + x} - \sqrt {4 - {x^2}} = m\) có nghiệm khi \(m \in \left[ {a;b} \right]\) với \(a,b \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(T...

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \sqrt {2 - x}  + \sqrt {2 + x}  - \sqrt {4 - {x^2}} \) trên \(\left[ { - 2;2} \right]\), ta có:

\(y' =  - \dfrac{1}{{\sqrt {2 - x} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {2 + x} }} - \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {2 - x}  - \sqrt {2 + x}  - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {2 - x}  - \sqrt {2 + x}  - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2 - x}  - \sqrt {2 + x}  - x = 0,(x \ne  \pm 2) \Leftrightarrow \sqrt {2 - x}  - \sqrt {2 + x}  = x(1)\)

Nếu \(x < 0\) thì \(\sqrt {2 - x}  > \sqrt {2 + x}  \Rightarrow \sqrt {2 - x}  - \sqrt {2 + x}  > 0 \Rightarrow (1)\)vô nghiệm.

Nếu \(x > 0\) thì \(\sqrt {2 - x}  < \sqrt {2 + x}  \Rightarrow \sqrt {2 - x}  - \sqrt {2 + x}  < 0 \Rightarrow (1)\)vô nghiệm.

Thay \(x = 0\) vào (1), ta thấy \(x = 0\) là nghiệm và đồng thời là nghiệm duy nhất của (1).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Để phương trình \(\sqrt {2 - x}  + \sqrt {2 + x}  - \sqrt {4 - {x^2}}  = m\) có nghiệm thì \(m \in \left[ {2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 2;2} \right]\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 2}\\{b = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow T = (a + 2)\sqrt 2 {\rm{\;}} + b = (2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 2 + 2).\sqrt 2 {\rm{\;}} + 2 = 6\)

Chọn B.