Tập hợp các số thực m để phương trình \(\log \left( {{x^2} - 2020} \right) = \log \left( {mx} \right)\) có nghiệm là

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} - 2020} \right) = \log \left( {mx} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\{x^2} - 2020 = mx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\m \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\{x^2} - mx - 2020 = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn điều kiện (*).

Ta có: \(\Delta  = {m^2} + 4.2020 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình (**) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + 8080} }}{2}\\{x_1} = \dfrac{{m - \sqrt {{m^2} + 8080} }}{2}\end{array} \right.\).

Xét \({x_1}\) thỏa mãn (*) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {m + \sqrt {{m^2} + 4.2020} } \right)}^2}}}{4} > 2020\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 8080 + 2m\sqrt {{m^2} + 8080}  > 8080\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m\sqrt {{m^2} + 8080}  > 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + \sqrt {{m^2} + 8080} } \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4m.\dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + 8080} }}{2} > 0\\ \Leftrightarrow 4m{x_1} > 0\,\,\left( {luon\,\,thoa\,\,man\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Chọn D.