Một người dự định làm một cái thùng hình trụ bằng tôn có nắp đậy và có thể tích \(V\) cho trước. Hỏi người đó phải làm cái thùng có tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính đáy bằng bao nh...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(h\) là chiều cao, \(r\) là bán kính đáy của hình trụ đã cho.

Thể tích của hình trụ đã cho là       \(V = \pi {r^2}h\)

Để làm cái thùng tốn hết ít tôn nhất thì diện tích toàn phần của cái thùng phải nhỏ nhất

Diện tích toàn phần của cái thùng có nắp là:                  \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

      \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = \pi \left( {2{r^2} + rh + rh} \right)\) \( \ge \pi .3\sqrt[3]{{2{r^2}.rh.rh}} = 3\pi \sqrt[3]{{2{V^2}}}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(2{r^2} = rh \Leftrightarrow h = 2r\)

Do đó, để làm cái thùng hết ít tôn nhất thì tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính đáy của hình trụ bằng 2.

Đáp án  A