Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 1}}{{2x + 1}}\) (với \(m\) là tham số) thỏa mãn điều kiện \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 3\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

TXĐ:  \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2}} \right\}\). Do đó, hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)

Ta có:\(y = \dfrac{{mx - 1}}{{2x + 1}}\)

\( \Rightarrow y' = \dfrac{{m\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {mx - 1} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2mx + m - 2mx + 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{m + 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)

Nếu \(m + 2 > 0 \Leftrightarrow m >  - 2\) thì \(y' > 0,\forall x \in D\) hay hàm số đã cho đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Do đó,

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 1}}{{2.2 + 1}} = 3 \Leftrightarrow m = 8\) (thỏa mãn)

Nếu \(m + 2 < 0 \Leftrightarrow m <  - 2\) thì \(y' < 0,\forall x \in D\) hay hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Do đó,

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1}}{{2.1 + 1}} = 3 \Leftrightarrow m = 10\) (Không thỏa mãn \(m <  - 2\))

Vậy \(m = 8\) hay \(7 < m < 10\)

Đáp án  A