Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{m^2}x - 4}}{{4x - 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định?

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\)

Ta có:\(y = \dfrac{{{m^2}x - 4}}{{4x - 1}}\) \( \Rightarrow y' = \dfrac{{{m^2}\left( {4x - 1} \right) - 4\left( {{m^2}x - 4} \right)}}{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{4{m^2}x - {m^2} - 4{m^2}x + 16}}{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{16 - {m^2}}}{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}\)

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(y' \ge 0,\forall x \in D\)  (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

\(\dfrac{{16 - {m^2}}}{{{{\left( {4m - 1} \right)}^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow 16 - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 4\)

Dấu ‘=’ ở trên không thể xảy ra vì khi \(m =  \pm 4\) thì \(y' = 0,\forall x \in D\)

Do đó, \( - 4 < m < 4\) thì hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Mà \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\)

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án  C