Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) cạnh bên bằng \(b\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I, I'\) lần lượt là tâm hai đáy, O là trung điểm của \(II'\). Khi đó ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Ta có: \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},\,IO = \frac{b}{2}\) suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là \(R = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{b^2}}}{4}}  = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\sqrt {4{a^2} + 3{b^2}} \) 

Vậy \({V_{\left( {O;\,R} \right)}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{\pi }{{18\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 3{b^2}} \right)}^3}} .\)