Ch biết mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\) có bán kính là?

* Hướng dẫn giải

Do tứ diện ABCD đều nên tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh cũng trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Suy ra H chính là trọng tâm tam giác BCD.

Khi đó AH chính là trục đường tròn ngoài tiếp tam giác BCD.

Gọi K là trung điểm của AB.

Mặt phẳng trung trực của AB qua K cắt AH tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD.

Ta có: \(r = IK\). Mặt khác \(\Delta AKI\)  đồng dạng \(\Delta AHB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{AI}}{{AB}} = \dfrac{{IK}}{{HB}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{2AH}} = \dfrac{{IK}}{{HB}}\end{array}\)

Trong đó: \(AB = a,\,HB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(AH = \sqrt {A{B^2} - H{B^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\Rightarrow r = IK = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Chọn B.