Cho biết hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), \(\Delta ABC\) đều có cạnh bằng \(a,AA' = a\)và đỉnh \(A'\) cách đều\(A,B,C\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC; O là tâm tam giác đều ABC

Vì A’ cách đều A, B, C nên \(A'O \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'O \bot AO \Rightarrow \Delta A'OA\) vuông tại O

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông A’OA có: \(A'O = \sqrt {AA{'^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'O.{S_{ABC}} \)\(\,= \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)

Chọn B