Cho biết có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt ?

* Hướng dẫn giải

\({x^3} - 6{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} =  - m\)

Số nghiệm của phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) chính là số giao điểm của đường thẳng y= -m và đths \(y = {x^3} - 6{x^2}\)

Xét \(y = {x^3} - 6{x^2}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 12x\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Từ  BBT, pt \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)  đường thẳng y= -m cắt đths \(y = {x^3} - 6{x^2}\) tại 3 điểm \( \Leftrightarrow \) \(\begin{array}{l} - 32 <  - m < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 32\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \) có 31 giá trị của m