Hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1\) nằm bên phải trục tung?

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2x + m\).

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\)

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - 3m} }}{3}\\{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {1 - 3m} }}{3}\end{array} \right.\).

Vì hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên \({x_{CT}} > {x_{CD}}\), do đó \({x_{CT}} = {x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - 3m} }}{3}\).

Theo bài ra ta có .

\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - 3m} }}{3} > 0\\ \Leftrightarrow  - 1 + \sqrt {1 - 3m}  > 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 - 3m}  > 1\\ \Leftrightarrow 1 - 3m > 1 \Leftrightarrow m < 0\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(m < 0\).

Chọn A.