Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển sau \({\left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)^9}\) là:

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)^9}\\ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k.{{\left( {1 - 2x} \right)}^k}.{{\left( { - 3{x^2}} \right)}^{9 - k}}} \\{\left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)^9}\\ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k.{{\left( { - 3} \right)}^{9 - k}}} {x^{18 - 2k}}.\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m.{{\left( { - 2x} \right)}^m}} \\{\left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)^9}\\ = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{m = 0}^k {C_9^k.{{\left( { - 3} \right)}^{9 - k}}C_k^m.{{\left( { - 2} \right)}^m}.{x^{18 - 2k + m}}} } \end{array}\)

Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển ứng với \(18 - 2k + m = 5 \Leftrightarrow 2k - m = 13\) \(\left( {m,\,\,k \in \mathbb{Z},\,\,0 \le m \le k \le 9} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 7;m = 1\\k = 8;m = 3\\k = 9;m = 5\end{array} \right.\)

Khi đó hệ số của \({x^5}\) bằng \(C_9^7.{\left( { - 3} \right)^2}.C_7^1{\left( { - 2} \right)^1}\)\( + C_9^8.{\left( { - 3} \right)^1}.C_8^3.{\left( { - 2} \right)^3}\)\( + C_9^9.{\left( { - 3} \right)^0}.C_9^5.{\left( { - 2} \right)^5} = 3528\).

Chọn C.