Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2a\), \(AD = a\), \(AA' = a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\). Hãy tính khoảng cách \(h\) từ điểm \(D\) đến mặt phẳng...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MC \Rightarrow BI \bot MC\;\)(vì \(\Delta BMC\) vuông cân).

Kẻ \(BH \bot B'I \Rightarrow BH \bot \left( {B'MC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {B'MC} \right)} \right) = BH.\)

Ta có tam giác \(BMC\) vuông cân tại \(B\) nên \(BI = \dfrac{{MC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(BH = \dfrac{{BB'.BI}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)

Mặt khác gọi \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(MC \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D,\left( {MB'C} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right)}} = \dfrac{{ED}}{{EB}}\)\( = \dfrac{{DC}}{{MB}} = 2.\)

\( \Rightarrow d\left( {D,\left( {MB'C} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}.\)

Chọn D.