Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left( m+1 \right){{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2x+2\) nghịch biến trên R.

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y'=3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-2\)

TH1: \(m=-1\Rightarrow y'=-2<0\,\,\forall x\in R\Rightarrow \) hàm số đã cho nghịch biến trên R.

TH2: \(m\ne -1\), để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'\le 0\,\,\forall x\in R\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 < 0\\
\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {m + 1} \right)\left( { - 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < - 1\\
{m^2} + 8m + 7 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < - 1\\
- 7 \le m \le - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 7 \le m < - 1\)

Với \(m=-7\) ta có: \(y=-6{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+2,\,\,y'=-18{{x}^{2}}-12x-2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}\Rightarrow m=-7\) thỏa mãn.

Kết hợp 2 trường hợp ta có \(m\in \left[ -7;-1 \right]\overset{m\in Z}{\mathop{\Rightarrow }}\,m\in \left\{ -7;-6;-5;...;-1 \right\}\Rightarrow \) Có tất cả 7 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.