Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5\,\,\left( \forall n\ge 1 \right) \\ \end{align} \right.\)....

* Hướng dẫn giải

Ta có: u₂ = 7, u₃ = 19, u­₄ = 43, u₅ = 91.

Dễ thấy

\(\begin{align}  & {{u}_{2}}={{u}_{1}}+6 \\  & {{u}_{3}}={{u}_{2}}+12={{u}_{1}}+6+6.2={{u}_{1}}+6\left( 1+2 \right) \\  & {{u}_{4}}={{u}_{3}}+24={{u}_{1}}+6+6.2+6.4={{u}_{1}}+6\left( 1+2+4 \right) \\  & {{u}_{5}}={{u}_{4}}+48={{u}_{1}}+6+6.2+6.4+6.8={{u}_{1}}+6\left( 1+2+4+8 \right) \\ \end{align}\)

Cứ như vậy ta dự đoán \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+6\left( 1+2+4+...+{{2}^{n-2}} \right)\)

\(\Rightarrow {{u}_{n}}=1+6.\frac{1-{{2}^{n-1}}}{1-2}=1+6\left( {{2}^{n-1}}-1 \right)={{6.2}^{n-1}}-5\,\,\,\left( \forall n\ge 1 \right)\left( * \right)\)

Dễ dàng chứng minh (*) đúng bằng phương pháp quy nạp.

\({{u}_{n}}>2018\Leftrightarrow {{6.2}^{n-1}}-5>2018\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}>\frac{2023}{6}\Leftrightarrow n-1>{{\log }_{2}}\frac{2023}{6}\Leftrightarrow n>1+{{\log }_{2}}\frac{2023}{6}\approx 9,4\)

Vậy số nguyên n nhỏ nhất để \({{u}_{n}}>2018\) là n = 10.

Chọn A.