Tìm m để phương trình \({\log _2}^2x - {\log _2}{x^2} + 3 = m\) có nghiệm \(x \in {\rm{[}}1;8]\) .

* Hướng dẫn giải

\({\log _2}^2x - {\log _2}{x^2} + 3 = m\). (ĐK: \(x > 0\))

\( \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x + 3 = m\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\).

Đặt \(t = {\log _2}x\). Khi \(x \in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\).

Bài toán trở thành: Tìm \(m\) để phương trình \({t^2} - 2t + 3 = m\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\). 

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 3\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 3\) ta có \(f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right] \Leftrightarrow m \in \left[ {2;6} \right]\).

Chọn C.