Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết \(A(2;1;0),B(3;0;2),C(4;3; - 4)\). Viết phương trình đường phân giác trong góc A.

* Hướng dẫn giải

Giả sử đường phân giác trong của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;3; - 6} \right)\), phương trình \(BC\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3t\\z = 2 - 6t\end{array} \right.\)

\(D \in BC \Rightarrow D\left( {3 + t;3t;2 - 6t} \right)\).

\(AB = \sqrt {1 + 1 + 4}  = \sqrt 6 ;\,\,AC = \sqrt {4 + 4 + 16}  = 2\sqrt 6 \)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

\(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{2\sqrt 6 }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2DB = DC \Rightarrow 2\overrightarrow {DB}  =  - \overrightarrow {DC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {DB}  = \left( { - t; - 3t;6t} \right);\,\,\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - t;3 - 3t; - 6 + 6t} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2t = t - 1\\ - 6t =  - 3 + 3t\\12t = 6 - 6t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow D\left( {\dfrac{{10}}{3};\;1;\;0} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {\dfrac{4}{3};0;0} \right)//\left( {1;0;0} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(AD:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\).

Chọn C.