Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm ?\({e^m} + {e^{3m}} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) .

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\).

Đặt \(x + \sqrt {1 - {x^2}}  = t\) ta có \({t^2} = {x^2} + 1 - {x^2} + 2x\sqrt {1 - {x^2}}  = 1 + 2x\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow x\sqrt {1 - {x^2}}  = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Ta có: \(t\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} ,\,\,x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\1 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

BBT:

Từ BBT ta có: \(t \in \left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]\).

Khi đó phương trình trở thành : \({e^m} + {e^{3m}} = 2t\left( {1 + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = t\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^3} + t\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\).

Từ (*) \( \Rightarrow f\left( {{e^m}} \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow {e^m} = t \Leftrightarrow m = \ln t \Rightarrow m \in \left( {-\infty ;\ln\sqrt 2 } \right) \)

Lại có \(m \in \mathbb {N} \Rightarrow m =0 \)

Chọn D.