Cho số phức z có \(\left| z \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\) .

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = a + bi\). Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} \ge 0 \Rightarrow  - 1 \le a \le 1\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| z \right|\left| {z - 1} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| {z - 1} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| {a + bi - 1} \right| + \left| {{a^2} + 2abi - {b^2} + a + bi + 1} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2} + a + 1} \right)}^2} + {{\left( {2ab + b} \right)}^2}} \\P = \sqrt {{a^2} - 2a + 1 + {b^2}}  + \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2} + a + 1} \right)}^2} + {b^2}{{\left( {2a + 1} \right)}^2}} \\P = \sqrt {2 - 2a}  + \sqrt {{{\left( {2{a^2} + a} \right)}^2} + \left( {1 - {a^2}} \right){{\left( {2a + 1} \right)}^2}} \\P = \sqrt {2 - 2a}  + \sqrt {4{a^2} + 4a + 1} \\P = \sqrt {2 - 2a}  + \left| {2a + 1} \right|\,\,\left( { - 1 \le a \le 1} \right)\end{array}\)

Sử dụng MTCT ta tìm được \({P_{\max }} = 3,25\).

Chọn A.