Phương trình \({4^x} + 1 = {2^x}m.\cos \left( {\pi x} \right)\) có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là:

* Hướng dẫn giải

\({4^x} + 1 = {2^x}.m.\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{2^x}.\cos \left( {\pi x} \right)}}{{{4^x} + 1}} = \dfrac{1}{m}\) (1)

Xét hàm số  \(f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}.\cos \left( {\pi x} \right)}}{{{4^x} + 1}}\)

Dễ dàng kiểm tra \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn \( \Rightarrow \) Nếu \({x_0}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\) thì \( - {x_0}\) cũng là nghiệm của (1)

Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó chỉ có thể là 0.

Thay \(x = 0\) vào (1) ta có:  \(\dfrac{{1.1}}{{1 + 1}} = \dfrac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2\)

Kiểm tra lại: với \(m = 2\), phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{2^x}.\cos \left( {\pi x} \right)}}{{{4^x} + 1}} = \dfrac{1}{2}\) (2)

Ta có: \(\dfrac{{{2^x}.\cos \left( {\pi x} \right)}}{{{4^x} + 1}} \le \dfrac{{{2^x}}}{{{4^x} + 1}} \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow \) Phương trình (2) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\pi x} \right) = 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\) : nghiệm duy nhất

Vậy, có 1 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: B