Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^3} - 3mx + 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.

* Hướng dẫn giải

\({x^3} - 3mx + 2 = 0\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
m = \frac{{{x^3} + 2}}{{3x}}
\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 2}}{{3x}}\) trên D=R\{0}. Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^3} - 2}}{{3{x^2}}}\) \(,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi m = 1