Cho hàm số \[y = {x^3} + 2\left( {m - 2} \right){x^2} - 5x + 1\).

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y'=3x^2+4(m-2)^2-5\), tam thức bậc hai này có \(ac<0\) nên nó có hai nghiệm trái dấu. Do đó hàm số đã cho luôn có hai cựa trị \(x_1<0 \).>

Suy ra

\(\begin{array}{l}
\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 2 \Rightarrow {\left( {\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} = 4 \Rightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 4\\
 \Rightarrow x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 4 \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4 \Rightarrow \frac{{16{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}{9} = 4\\
 \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = \frac{9}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{7}{2}\\
m = \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Thử lại ta thấy \(m = \frac{1}{2}\) thỏa bài toán