Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 và chiều dài gấp đôi chiều rộng.

* Hướng dẫn giải

Giả sử chiều dài, chiều rộng của hộp là \(2x\) và \(x\); giá thành làm đáy và mặt bên hộp là 3, giá thành làm nắp hộp là 1. Theo giả thiết ta có:

\(2x^2h=V_h=48 \Rightarrow x^2h=24\)

Giá làm hộp là: \(3\left( {2{x^2} + 2xh + 4xh} \right) + 2{x^2} = 8{x^2} + 9xh + 9xh \ge 3\sqrt[3]{{{{8.9}^2}.{x^4}{h^2}}} = 216\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}
8{x^2} = 9xh\\
{x^2}h = 24
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{9h}}{8}\\
\frac{{{9^2}}}{{{8^2}}}.{h^3} = 24
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
h = \frac{8}{3}
\end{array} \right.\)

Vậy \(m=8, n=3\) và \(m+n=11\)