Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh 2a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(4a^3\).

* Hướng dẫn giải

Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều có O là tâm đáy nên \(SO \bot (ABCD).\) Gọi M là trung điểm BC, trong tam giác SOM kẻ \(OH \bot SM\) tại H.

Vì ABCD là hình vuông tâm O nên \(OB = OC = OA = OD = \frac{{BD}}{2}.\) 

Suy ra \(OM \bot BC\) (vì \(\Delta OBC\) vuông cân có OM là trung tuyến cũng là đường cao) 

Ta có \(SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC,\) lại có \(OM \bot BC\) nên \(BC \bot (SOM)\) suy ra \(BC \bot OH.\) 

Từ đó vì \(\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot SM\\
OH \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC)\) tại \(H \Rightarrow d\left( {O;(SBC)} \right) = OH.\) 

Xét tam giác OBC vuông cân tại O có trung tuyến \(OM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.2a = a.\) 

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}.\) Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 4{a^3} = \frac{1}{3}SO.4{a^2} \Rightarrow SO = 3a.\) 

Xét tam giác SOM vuông tại M có OH là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{SO{}^2}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{{10}}{{9{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\) 

Vậy \(d\left( {O;(SBC)} \right) = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.\)