Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ?

* Hướng dẫn giải

Đáp án A: \(y = {x^4} - {x^2} + 3 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2x = 2x\left( {2{x^2} - 1} \right).\) 

\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} < x < 0\\
x > \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\) hay hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right) \supset \left( {1; + \infty } \right)\) 

Nên hàm số ở đáp án A thỏa mãn.

Đáp án B: \(y = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\) 

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\) 

Cả hai khoảng này đều không chứa khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên loại.

Đáp án C: \(y =  - {x^3} + x - 1 \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 1 > 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{\sqrt 3 }} < x < \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\) 

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\) Khoảng này không chứa khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên loại.

Đáp án D: \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\) 

Do đó hàm số không đồng biến, loại D.