Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau.

* Hướng dẫn giải

Các tam giác đều ABC và BCD có cạnh 2

\( \Rightarrow BD = DC = BC = AB = AC = 2\) 

Nên tam giác CAD cân tại C và  tam giác BAD cân tại B.

Lấy H là trung điểm \(AD \Rightarrow CH \bot AD\) (do tam giác CAD cân tại C)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {CAD} \right) \bot (BAD)\\
(CAD) \cap (BAD) = AD\\
CH \bot AD,BH \subset (CAD)
\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot (BAD) \Rightarrow CH \bot BH\) (1)

Lại có \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên BH = CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác CHB vuông cân tại H có cạnh huyền CB = 2.

Suy ra \(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2} \Leftrightarrow 2B{H^2} = {2^2} \Rightarrow BH = CH = \sqrt {2.} \) 

Xét tam giác CAH vuông tại H có \(\cos ACH = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow ACH = {45^0}\) 

Lại thấy CH là phân giác của ACD  (vì \(\Delta CAD\) cân tại C) nên \(ACH = HCD = {45^0} \Rightarrow ACD = {90^0}\) 

Hay tam giác CAD vuông cân tại \(C \Rightarrow CH = \frac{1}{2}AD = HA = HD\) (3)

Vì \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(B \Rightarrow BH = \frac{{AD}}{2} = HD = HA\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(HA = HB = HC = HD = \sqrt 2 \)hay  H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán

kính mặt cầu là \(\sqrt{2}\)