Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(G = D'N \cap B'C',GM\) cắt BB', CC' lần lượt tại I, H, \(HD' \cap DC = J.\) 

Do đó thiết diện là ngũ giác MJD'NI 

Thể tích khối đa diện cần tính

\({V_{(H)}} = {V_{CMIJNB'CD'}} = {V_{H.GD'C'}} - {V_{H.MCJ}} - {V_{GB'IN}}\) 

Vì NB'//C'D' nên \(\frac{{GB'}}{{GC'}} = \frac{{NB'}}{{C'D'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow GC' = 2B'C' = 2a.\) 

Lại có \(MB//GB' \Rightarrow \frac{{MB}}{{GB'}} = \frac{{BI}}{{IB'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow IB' = \frac{2}{3}a,IB = \frac{a}{3}.\) 

Tam giác \(\Delta MIB = \Delta MHC \Rightarrow HC = IB = \frac{a}{3}.\) Mà \(JC//D'C' \Rightarrow \frac{{JC}}{{D'C'}} = \frac{{HC}}{{HC'}} = \frac{{\frac{a}{3}}}{{\frac{a}{3} + a}} = \frac{1}{4} \Rightarrow JC = \frac{a}{4}.\) 

Thể tích \({V_{H.GD'C'}}.HC' = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}C'D'.C'G = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}a.2a.\frac{4}{3}a = \frac{4}{9}{a^3}.\) 

Thể tích \({V_{H.CJM}} = \frac{1}{3}{S_{CMJ}}.HC = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{a}{4}.\frac{a}{2}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^3}}}{{144}}.\) 

Thể tích \({V_{I.GB'N}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.B'G.B'N.IB' = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a.\frac{a}{2}.\frac{2}{3}a = \frac{{a{}^3}}{{18}}.\) 

Vậy thể tích khối đa diện (H) là: \(\frac{4}{9}{a^3} - \frac{{{a^3}}}{{144}} - \frac{{{a^3}}}{{18}} = \frac{{55{a^3}}}{{144}}.\)