Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d\) 

Từ đồ thị hàm \(f'(x)\) ta có \(f'(0) = 0 \Rightarrow d = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f'\left( x \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f'\left( x \right) =  + \infty  \Rightarrow a < 0\) 

Ta xét \(\int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}
0\\
 - 1
\end{array} \right. = e - \left( {a - b + c - d + e} \right) =  - a + b - c + d,\) mà

\(\int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx}  < 0 \Rightarrow  - a + b - c + d < 0 \Leftrightarrow a + c > b + d\) nên C sai.

Lại có \(d = 0 \Rightarrow a + c > b \Leftrightarrow a > b - c\) mà \(a < 0 \Rightarrow b - c < 0\) do đó \(d + d - c < 0\) nên D sai.

Lại xét \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = a + b + c + d + e - e = a + b + c + d\) mà \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  > 0 \Rightarrow a + b + c + d > 0\) nên B sai.

Theo trên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c + d > 0\\
 - a + b - c + d < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - a - b - c - d < 0\\
 - a + b - c + d < 0
\end{array} \right. \Rightarrow  - 2(a + c) < 0 \Leftrightarrow a + c > 0\) nên A đúng.