Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{x - y}} - {2^y} + x = 2y\\{2^x} + 1 = \left( {m{}^2 + 2} \right){.2^y}.

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(1 - {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow y \in [ - 1;1]\) 

+ Xét phương trình \(2{}^{x - y} - {2^y} + x = 2y \Leftrightarrow {2^{x - y}} + x - y = {2^y} + y\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0;\forall t\) nên hàm số \(f(t)\) đồng biến trên R.

Từ đó \({2^{x - y}} + x - y = {2^y} + y \Rightarrow f\left( {x - y} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x - y = y \Leftrightarrow x = 2y\) 

+ Thay x=2y vào phương trình \(2{}^x + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \) ta được

\(2{}^{2y} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right).2{}^y.\sqrt {1 - {y^2}}  \Leftrightarrow {4^y} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} (*)\) 

Để hệ phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(y \in [ - 1;1]\) 

Giả sử \({y_0} \in [ - 1;1]\) là một nghiệm của phương trình (*) thì  ta có \(4{}^{{y_0}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{{y_0}}}.\sqrt {1 - y_0^2} \) (**)

Xét với \(-y_0\) ta có \(4{}^{ - {y_0}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{ - {y_0}}}.\sqrt {1 - \left( { - {y_0}} \right){}^2}  \Leftrightarrow \frac{1}{{{4^{{y_0}}}}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right)\frac{1}{{{2^{{y_0}}}}}\sqrt {1 - y_0^2} \) 

\( \Leftrightarrow 4{}^{{y_0}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{{y_0}}}.\sqrt {1 - y_0^2} \) (đúng do (**) hay \(-y_0\) cũng là nghiệm của phương trình (*).

Do vậy để (*) có nghiệm duy nhất thì \({y_0} =  - {y_0} \Leftrightarrow {y_0} = 0.\) Thay y = 0 vào (*) ta được \({4^0} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^0}\sqrt {1 - {0^2}}  \Leftrightarrow {m^2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0.\) 

Thử lại: Thay m = 0 vào (*) ta được \({4^y} + 1 = {2.2^y}\sqrt {1 - {y^2}}  \Leftrightarrow {2^y} + \frac{1}{{{2^y}}} = 2\sqrt {1 - {y^2}} (***)\)

Nhận thấy rằng VT (***) \(= {2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}\mathop  \ge  2\sqrt {{2^y}.\frac{1}{{{2^y}}}}  \Leftrightarrow VT(***) \ge 2,\) dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2{}^y = \frac{1}{{{2^y}}} \Leftrightarrow y = 0\) 

Và \(VP(***) = 2\sqrt {1 - {y^2}}  \le 2 \Leftrightarrow VP(***) = 2 \Leftrightarrow y = 0.\) 

Vậy phương trình (***) có nghiệm duy nhất y = 0.

Kết luận : Với m = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất nên tập S có một phần tử.