Thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn (x^2 + (y-a)^2) nhỏ hơn hoặc bằng R^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

$$\begin{gathered} \mathrm{Ta} \mathrm{có}: {\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-\mathrm{a})}^2={\mathrm{R}}^2\iff \mathrm{y}=\pm \sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{a} \\ \mathrm{Nửa} \mathrm{trên} \mathrm{hình} \mathrm{tròn} \mathrm{có} \mathrm{phương} \mathrm{trình}: \mathrm{y}=\sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{a} \\ \mathrm{Nửa} \mathrm{dưới} \mathrm{hình} \mathrm{tròn} \mathrm{có} \mathrm{phương} \mathrm{trình}: \mathrm{y}=-\sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{a} \\ \mathrm{Thể} \mathrm{tích} \mathrm{khối} \mathrm{tròn} \mathrm{xoay} \mathrm{là}: \\ \mathrm{V}={\mathrm{V}}_1-{\mathrm{V}}_2 =\mathrm{\pi }{\int }_{-\mathrm{R}}^{\mathrm{R}}{\left(\sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{a}\right)}^{2}d\mathrm{x}-\mathrm{\pi }{\int }_{-\mathrm{R}}^{\mathrm{R}}{\left(-\sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{a}\right)}^{2}d\mathrm{x} \\ = 4\mathrm{\pi a} {\int }_{-\mathrm{R}}^{\mathrm{R}}\left({\mathrm{R}}^2-{\mathrm{x}}^2\right) \mathrm{d} \mathrm{x} \\ \mathrm{Đặt} \mathrm{x}=\mathrm{R}.\mathrm{sint}\Rightarrow \mathrm{dx}=\mathrm{Rcostdt} \\ \mathrm{x}=-\mathrm{R}\Rightarrow \mathrm{t}=\frac{-\mathrm{\pi }}{2}; \mathrm{x}=\mathrm{R}\Rightarrow \mathrm{t}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \Rightarrow \mathrm{V}=4\mathrm{\pi a}{\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left({\mathrm{R}}^2-{\mathrm{R}}^2.{\sin }^2\mathrm{t}\right).\mathrm{Rcostdt} \\ =4{\mathrm{\pi aR}}^2{\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos 2\mathrm{tdt}=2{\mathrm{\pi }}^2{\mathrm{aR}}^2 \end{gathered}$$