Tập tất cả các giá trị của m để phương trình \(2x\sqrt {1 - {x^2}}  - m\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right) + m + 1 = 0\)&nb

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \( - 1 \le x \le 1.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} \) trên đoạn [-1;1].

Có: \(g'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\) 

\(g\left( { - 1} \right) =  - 1;g\left( 1 \right) = 1;g\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 .\) 

Suy ra \( - 1 \le g\left( x \right) \le \sqrt 2 .\) 

Đặt \(t = x + \sqrt {1 - {x^2}} , - 1 \le t \le \sqrt 2 .\) Khi đó, phương trình trở thành:

\({t^2} - mt + m = 0 \Leftrightarrow t + 1 + \frac{1}{{t - 1}} = m.\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + 1 + \frac{1}{{t - 1}}\) trên tập \(\left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\) 

Có \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}.f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = 2
\end{array} \right..\) 

Do đó, để phương trình không có nghiệm thực thì giá trị cần tìm của m là \(m \in \left( {0;2 + 2\sqrt 2 } \right)\) 

Suy ra \(a - b =  - 2\sqrt 2  - 2.\)