Gọi S là tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}{\left( {x - 1} \right)^3} - {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2{\log _2}\lef

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình: \({\log _{\sqrt 2 }}{\left( {x - 1} \right)^3} - {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2{\log _2}\left( {x - 1} \right)\) 

Điều kiện xác định: x > 1 và \(x \ne 3.\) 

Phương trình đã cho \( \Leftrightarrow 2{\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = {\log _2}\left| {x - 3} \right| + 2{\log _2}\left( {x - 1} \right)\) 

\(\begin{array}{l}
{\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = {\log _2}\left| {x - 3} \right| + {\log _2}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\left| {x - 3} \right|\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = \left( {x - 1} \right)\left| {x - 3} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \left| {x - 3} \right|\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x + 1 = x - 3\\
{x^2} - 2x + 1 = 3 - x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 4 = 0\\
{x^2} - x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \in \emptyset \\
x =  - 1(L)\\
x = 2(N)
\end{array} \right..
\end{array}\)

 Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}.\)