Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh AC sao cho AB = 2AM, đường tròn tâm I đường kính CM cắt BM tại D, đường

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^0}\) nên tứ giác BADC nội tiếp.

Gọi J là trung điểm BC thì J là tâm đường tròn ngaoijt iếp tứ giác BADC.

Suy ra \(JI \bot CD.\) 

Đường thẳng JI đi qua I(1;-1) và vuông góc với CD có phương trình là \(3x+y-2=0\) 

Gọi \(K = IJ \cap CD \Rightarrow K\) là trung điểm CD.

Tạo độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y - 6 = 0\\
3x + y - 2 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {\frac{6}{5}; - \frac{8}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {IK}  = \left( {\frac{2}{5}; - \frac{6}{5}} \right).\) 

\(C \in CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow C\left( {3c + 6;c} \right)\) 

Ta lại có \(\Delta MBA \sim \Delta MCD \Rightarrow \frac{{MD}}{{CD}} = \frac{{MA}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow CD = 3MD\) 

\( \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{48}}{5} - 6c} \right)^2} + {\left( { - \frac{{16}}{5} - 2c} \right)^2} = 9.\frac{8}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c =  - 1\\
c =  - \frac{{11}}{5}
\end{array} \right..\) 

Do \({x_C} \in Z\) nên nhận \(c =  - 1 \Rightarrow C\left( {3; - 1} \right).\) 

Đường thẳng BC đi qua hai điểm C, E nên có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {EC}  = \left( {\frac{5}{3}; - 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {5; - 3} \right)\) 

Suy ra phương trình BC: \(3x + 5y - 4 = 0.\) 

\(J = BC \cap IJ,\)  tọa độ điểm J là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3x + 5y - 4 = 0\\
3x + y - 2 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\) 

J là trung điểm BC \( \Rightarrow B\left( { - 2;2} \right).\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 0.\)