Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB cố định, đường gấp khúc ADBC cho ta hình trụ (T).

* Hướng dẫn giải

Hình trụ (T) có bán kính r = BC và chiều cao h = CD. Thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h.\)

Gọi cạnh của \(\Delta MNP\) là x, khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MNP\) \(r = \frac{2}{3}\frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = r\sqrt 3 .\) 

Khối chóp A.MNP có đáy \(\Delta MNP\) đều và chiều cao AB = DC = h.

Thể tích của khối chóp \(V' = \frac{1}{3}.AB.{S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{3}.h.\frac{{{{\left( {r\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 {r^2}h}}{4}.\) 

Tỷ số giữa thể tích khối trụ và thể tích khối chóp A.MNP là \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{\pi {r^2}h}}{{\frac{{\sqrt 3 {r^2}h}}{4}}} = \frac{{4\pi }}{{\sqrt 3 }}.\)