Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC.

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm BC, \(I = EF \cap SM,\) suy ra I là trung điểm EF và SM.

Có \(\Delta ACS = \Delta ABS\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow AF = AE = AEF\) cân tại \(A \Rightarrow AI \bot EF.\) 

Do \(\left( {AEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AI \bot SM.\) 

Tam giác ASM có \(AI \bot SM\) và I là trung điểm SM nên ASM cân tại A, suy ra \(SA = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) 

Gọi G là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) 

Trong tam giác SAG có: \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{9}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}.\) 

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{6}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{24}}.\)