Cho hình chóp đều S.ABC có \(AB = a,\widehat {ASB} = {30^0}.

* Hướng dẫn giải

Trải tứ chóp S.ABC ra mặt phẳng (SBC) thì chu vi tam giác AB'C' bằng

\(AB' + B'C' + C'A = AB' + B'C' + C'D \ge AD.\) 

Dấu “=” xảy ra khi \(B' \equiv E,C' \equiv F.\) 

Ta có \(AB = a,\widehat {ASB} = {30^0} \Rightarrow SA = SB = \frac{a}{{2\sin {{15}^0}}} = \frac{{a\left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right)}}{2}.\) 

Lại có \(\widehat {ASB} = {30^0} \Rightarrow \widehat {ASD} = {90^0} \Rightarrow AD = SA\sqrt 2  = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)a.\) 

Vậy chu vi tam giác AB'C' đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)a.\)