Điểm nằm trên đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) có khoảng cách ngắn nhất đến đường thẳn

* Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R = 2.

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là \(d\left( {I;(d)} \right) = 3\sqrt 2  > R\) nên d không cắt (C).

Điểm M(a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( C \right)\\
d\left( {M;\left( d \right)} \right) = 3\sqrt 2  - 2
\end{array} \right..\) 

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d, ta có IH: \(x + y + 1 = 0.\) 

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\\
x + y + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} - 4x - 2 = 0\\
y =  - x - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 2 ;y =  - 2 - \sqrt 2 \\
x = 1 - \sqrt 2 ;y =  - 2 + \sqrt 2 
\end{array} \right.\) 

Từ đó suy ra \(M\left( {1 - \sqrt 2 ; - 2 + \sqrt 2 } \right).\) Do đó \(a = 1 - \sqrt 2 ,b =  - 2 + \sqrt 2 \) nên \(\sqrt 2 a = b.\)