Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Xét các mệnh đề sau

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Các mệnh đề I, II đúng còn các mệnh đề III, IV sai.

Mệnh đề III sai vì thiếu điều kiện dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $I$

Mệnh đề IV sai vì ta xét hàm số $f\left(x\right)=\cos 2x-2x+3$ có

$f^{\text{'}}\left(x\right)=-2\left(1+\sin 2x\right)\le 0,\forall x\in \mathrm{ℝ}$ và

tức là $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ tại vô số điểm trên $\mathrm{ℝ}$.

Mặt khác hàm số $f\left(x\right)=\cos 2x-2x+3$ 

liên tục trên $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi };-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{\pi }\right]$

và $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$, $\forall x\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi };-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+(\mathrm{k}+1)\mathrm{\pi }\right)$

do đó hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến 

trên mỗi đoạn $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi };-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\left(\mathrm{k}+1\right)\mathrm{\pi }\right]$, $\left(k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên .