Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1\) đều có hệ số góc dư

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + 2m - 3\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Khi đó đồ thị hàm số có các tiếp tuyến có hệ số góc dương

\( \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) > 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 2m - 3 > 0{\rm{ }}\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta ' < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 > 0\\
{m^2} - 3\left( {2m - 3} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 < 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} < 0{\rm{ }}\left( {VN} \right)\)